QUADRATIC EQUATION AND FUNCTION EQUATION

A.    RELATION AND FUNCTION

Relation adalah suatu aturan yang memasangkan anggota himpunan ke himpunan lain.

B.     QUADRATIC EQUATION

1. General Form of Quadratic Equations

Quadratic equation is an equation that the highest EXPONENT of the variables is 2.

General form:

ax² + bx +c = 0, with a 0,and a, b, c Real number.

Examples:

1)      2x² + 3x + 1 = 0

2)      3x² + 4x – 1 = 0

2. Akar-akar PK

Nilai x yang memenuhi ax² + bx +c = 0 disebut akar-akar PK.

a)      Cara memperoleh akar-akar adalah :

1)      Cara faktorisasi

Yaitu ax² + bx +c = 0 diruaikan ke dalam bentuk (x – x₁) (x – x₂) = 0

Contoh :

x² – 12x + 20 = 0

x² – 2x – 10x + 20 = 0 (susun nilai yang didapatkan dengan yang sefaktor)

(x² – 2x) – (10x - 20) = 0

x(x – 2) – 10 (x – 2) = 0 (keluarkan faktor-faktornya)

 (x – 10)(x – 2) = 0 (dengan sifat distribusi,(a – b)(c – d) = a (c – d) – b(c – d))

Sehingga akar-akarnya, adalah

Ø  (x -10) = 0

x₁         = 10, atau

Ø  (x – 2) = 0

x₂         = 2

2)      Cara Rumus ABC

Jika ax² + bx +c = 0, maka akar-akarnya adalah :

x_1,2 =

3)      Cara Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Jika ax² + bx +c = 0, maka akar-akarnya didapatkan dengan cara:

ax² + bx +c = 0

contoh :

Tentukan akar-akar dari x² + 6x + 3 = 0 !

x² + 6x + 3 = 0

x² + 6x       = -3

x² + 6x + = -3 +

  = (-3) + 3²

(x + 3)²      = 6

x + 3          = , sehingga

x₁ = - 3 +, atau x₂ = -3 -

b)      Rumus-rumus Praktis Sifat Akar – akar PK

Jika x₁ dan x₂ adalah akar – akar PK ax² + bx +c = 0, maka berlaku :

1)      x₁ + x₂ =

2)      x₁ . x₂ =

3)      = =

4)     

5)      x₁ – x₂ =  , dengan D diskriminan, D = b² – 4 ac

6)      x₁² – x₂² =

7)      x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² – 2 x₁x₂ = - 2.  =

8)      x₁³ + x₂³ = (x₁ + x₂)³ – 3 x₁x₂ (x₁ + x₂) =

9)      x₁⁴ + x₂⁴ = [(x₁ + x₂)² – 2 x₁x₂ ] - 2(x₁x₂)²

10)  x₁⁴ - x₂⁴ = [(x₁² - x₂²) (x₁² + x₂²)

11) 

c)      Sifat-sifat Akar PK

1)      Bila akar-akar saling berlawanan (x₁ = - x₂), syaratnya b = 0

2)      Bila akar-akar saling berkebalikan (x₁ = ), syaratnya a = c

3)      Bila salah satu akarnya = 0, syaratnya c = 0

4)      Bila kedua akarnya sama (x₁ = x₂), syaratnya x₁ = x₂ = -

d)     Rumus Praktis Perbandingan Akar

kb2 = (k+1)2 ac

PK ax² + bx +c = 0 mempunyai akar x₁ dan x₂ sedemikian sehingga harga x₁ = kx₂, dimana k konstanta pembanding, maka berlaku

Misal :

Diketahui x₁ dan x₂ adalah akar-akar PK x² – (p+3)x + (2p+2), jika p bil.asli dan x₁ = 3x₂, maka harga p yang memenuhi adalah:

Jawab:

k = 3, sehingga kb² = (k+1)² ac adalah

3 (p+3)² = (3+1)² (2p+2)

3p² – 14p – 5 = 0

(3p+1) (p-5)  = 0

p = -, atau p = 5.

e)      Rumus Praktis Selisih Akar-akar PK

PK ax² + bx +c = 0 mempunyai akar x₁= n + x₂, maka selisih akar-akarnya adalah D = (n.a)², dengan D = b² – 4ac

Misal :

PK x² – 9x + p = 0, akar-akarnya x₁ dan x₂, jika x₁ = x₂ + 1, maka harga p adalah:

n = 1, dengan PK x² – 9x + p = 0, maka

D = b² – 4ac =  (-9)² – 4(1)(p) = 81 – 4p

dengan rumus di atas di dapatkan D = (1.1)² = 1

81 – 4p = 1  p = 20.

3. Diskriminan PK

Jika D = b² – 4ac adalah diskriminan (pembeda) akar-akar persamaan, maka jenis PK dapat dibedakan menjadi :

a)      D > 0, berarti PK mempunyai dua akar real berbeda (x₁ x₂)

b)      D = 0, berarti PK mempunyai dua akar real sama (x₁ = x₂)

c)      D < 0, berarti PK mempunyai dua akar yang tidak real (imajiner)

4. Tanda-tanda Akar-akar PK ax² + bx +c = 0

Syarat – syarat agar akar-akar memenuhi tanda-tanda tertentu adalah:

a)      Kedua akar positif jika D  0, -ab > 0, dan ac > 0

b)      Kedua akar negatif jika D  0, -ab < 0, dan ac > 0

c)      Kedua akar berbeda tanda jika D > 0, dan ac < 0

d)     Kedua akarnya sama jika D = 0, dengan D = b² – 4ac.

5. Menyusun PK

Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar PK , maka PK itu adalah :

a)      (x – x₁)(x – x₂) = 0 atau

b)      x² – (x₁+x₂) x + (x₁x₂) = 0

Contoh :

1)      Tentukan PK yang akar – akarnya yaitu x₁ = -3 dan x₂ =  !

Jawab :

Dengan cara a) kita dapatkan :

(x – (-3))(x - ) = 0

(x + 3)(x - ) = 0

x² + 3x -x + (3 . -) = 0

x² +  x – 1 = 0

3 x² + 8 – 3 = 0

6. Menyusun PK Baru (PKB)

Rumus Praktis

Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar PK ax² + bx +c = 0, maka

1)      PKB yang akar-akarnya k kali (kx₁ dan kx₂) dari akar-akar ax² + bx +c = 0, adalah ax² + kbx +ck² = 0 (Ingat! b kalikan dg k, dan c kalikan dg k²)

2)      PKB yang akar-akarnya kebalikan (dan ) dari akar-akar ax² + bx +c = 0, adalah cx² + bx + a = 0 (Ingat! tukarkan nilai a dan c)

3)      PKB yang akar-akarnya berlawanan (-x₁ dan –x₂) dari akar-akar ax² + bx +c = 0, adalah ax² - bx + c = 0 (Ingat! b dilawankan)

4)      PKB yang akar-akarnya x₁² dan x₂² dari akar-akar ax² + bx +c = 0, adalah a² x² + (b² – 2ac) x + c² = 0

5)      PKB yang akar-akarnya x₁³ dan x₂³ dari akar-akar ax² + bx +c = 0, adalah a³ x² + (3abc – b³) x + c³ = 0

6)      PKB yang akar-akarnya k lebihnya dari (x₁+k dan x₂+k) dari akar-akar ax² + bx +c = 0, adalah a (x - k)² + b(x - k) + c = 0

7)      PKB yang akar-akarnya k kurangnya dari (x₁-k dan x₂-k) dari akar-akar ax² + bx +c = 0, adalah a (x + k)² + b(x + k) + c = 0

8)      PKB yang akar-akarnya  dari akar-akar ax² + bx +c = 0, adalah acx² + (b² – 2ac)x + ac = 0

9)      PKB yang akar-akarnya  dari akar-akar ax² + bx +c = 0, adalah c² x² - (b² – 2ac)x + a² = 0

10)  PKB yang akar-akarnya x₁ + x₂ dan x₁x₂ dari akar-akar ax² + bx +c = 0, adalah a²x² + (ab – ac)x - bc = 0

C.    Fungsi Kuadrat

1. Bentuk Umum Fungsi Kuadrat (FK)

Fungsi kuadrat adalah suatu fungsi yang mempunyai variabel dengan pangkat tertinggi dua.

Bentuk umumnya : f(x) = ax² + bx +c, dengan a 0,dan a, b, c  bilangan Real.

Contoh :

1)      f(x) = 2x² + 3x + 1

2)      f(x) = 3x² + 4x – 1

2. Grafik Fungsi Kuadrat (FK)

Sebuah fungsi kuadrat mempunyai grafik berbentuk kurva parabola yang ditentukan oleh y = ax² + bx +c.

a.       Penggambaran sketsa grafik FK dilakukan langkah-langkah sbb:

1)      Menentukan titik potong dengan sumbu x (berarti y = 0)

y = 0, maka ax² + bx +c = 0 (x – x₁)(x – x₂) = 0

koordinat titik potongnya adalah (x₁,0) dan (x₂,0)

2)      Menentukan titik potong dengan sumbu y (berarti x = 0)

x = 0, maka a(0)² + b(0) + c = y y = c

koordinat titik potongnya adalah (0,c)

3)      Menentukan sumbu simetri

Kurva y = ax² + bx +c, sumbu simetrinya adalah x =

4)      Menentukan titik balik dari kurva y = ax² + bx +c

Harga ekstrim maksimumnya, jika a < 0 dan y_maks =  maka x =

Harga ekstrim minimumnya, jika a > 0 dan y_min =  maka x =

Sehingga, koordinat titik baliknya (maks atau min) adalah (,).

b.      Teori – teori Lain

1)      D > 0, kurva memotong sumbu x di dua titik

2)      D = 0, kurva menyinggung sumbu x

3)      D < 0, kurva tidak memotong sumbu x

4)      a > 0, kurva membuka ke atas

5)      a < 0, kurva membuka ke bawah

6)      jika a > 0, dan D < 0 maka f(x) disebut definit positif (seluruh grafik di atas sumbu x atau f(x) selalu positif)

7)      jika a < 0, dan D < 0 maka f(x) disebut definit negatif (seluruh grafik di bawah sumbu x atau f(x) selalu negatif)

Perhatikan sketsa grafik berikut!

 

c.       Tips Singkat Menentukan Faktor-faktor pada FK dengan Melihat Kurva

1)      Pengaruh faktor a

Untuk melihat nilai a, putarlah kurva 90^o ke arah kiri

 

2)      Pengaruh Faktor b

Untuk melihat nilai b, kurva dapat diputar 90⁰ ke arah :

a)      Kanan, jika kurva lebih berat di kanan sumbu y

b)      Kiri, jika kurva lebih berat di kiri sumbu y

c)      Kurva sama berat (tepat di tengah sumbu simetri) maka b = 0.

 

3)      Pengaruh Faktor c

Untuk melihat nilai c :

a)      Jika kurva memotong sumbu y di atas sumbu x, maka c > 0

b)      Jika kurva memotong sumbu y di bawah sumbu x, maka c < 0

c)      Jika kurva melalui pangkal koordinat (0,0) maka c = 0.

d.      Membentuk FK

Fungsi kuadrat dapat dibentuk, jika :

1)      Mempunyai titik balik (p,q) dengan menggunakan y = a(x-p)²+ q. Syaratnya di dalam soal diketahui titik balik, dan 1 titik lain yang dilalui kurva itu.yy

2)      Melalui titik potong dengan sumbu X di (,0) dan (,0) dengan menggunakan y = a (x -)(x -). Syaratnya di dalam soal diketahui titik-titik potongnya, dan 1 titik lain yang dilalui kurva itu.

3)      Melalui tiga titik sembarang dengan menggunakan y = ax² + bx + c.